Capítulo 6 — Cálculo II

Mapa da aula

Aula 06 publicada. Mapa, exemplo, EX016.

flowchart TD
  N0["6.1 Acumular taxas"]
  N1["6.2 Janelas de exposição"]
  N2["Laboratório — Exposição sob dois intervalos de atual"]
  N3["6.3 Séries e pequenos riscos repetidos"]
  N4["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4
  N4 --> EX["Exemplo resolvido"]
  EX --> Q["Exercício EX016"]

Desenho lógico

flowchart LR
  N0["6.1 Acumular taxas"]
  N1["6.2 Janelas de exposição"]
  N2["Laboratório — Exposição sob dois intervalos de atual"]
  N3["6.3 Séries e pequenos riscos repetidos"]
  N4["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> Q["EX016"]

[6.1 Acumular taxas]
    |
    v
[6.2 Janelas de exposição]
    |
    v
[Laboratório — Exposição sob dois intervalos de atual]
    |
    v
[6.3 Séries e pequenos riscos repetidos]
    |
    v
[Síntese]
    |
    v
[Exemplo resolvido] --> [Exercício EX016]

Objetivos de aprendizagem

Você vai (1) usar integrais para acumular taxas ao longo do tempo; (2) estimar janelas de exposição a partir de taxas variáveis; (3) aplicar aproximações por séries para raciocinar sobre pequenos riscos repetidos.

6.1 Acumular taxas

O Cálculo II introduz a integração: somar uma taxa ao longo do tempo para obter um total. Daniel dá a Sofia uma curva sintética de tentativas de validação fraudulentas por hora ao longo de um dia, que sobe no horário de pico e cai à noite. O número total de tentativas é a área sob a curva. Ela aproxima a integral com a regra do trapézio usando amostras de hora em hora. A integração aparece sempre que uma grandeza de segurança é uma taxa: bytes por segundo de exfiltração, logins com falha por minuto ou exposição por dia. São os totais, e não só os picos, que muitas vezes determinam o impacto no negócio que os arquitetos precisam explicar.

6.2 Janelas de exposição

As listas de bloqueio da Corvia são atualizadas a cada hora, então um cartão roubado continua utilizável até a próxima atualização. Se os furtos acontecem a uma taxa que varia ao longo do dia, o uso indevido esperado depende da taxa integrada sobre cada janela de exposição. Sofia calcula o uso indevido esperado para atualizações a cada hora e a cada quinze minutos, integrando a taxa sintética de uso após furto multiplicada pela janela média restante. O laboratório abaixo compara os dois intervalos de atualização. As atualizações a cada quinze minutos reduzem bastante o uso indevido esperado, e o resultado dá à diretora financeira um número para pesar contra o custo de dados discutido no capítulo 5.

Laboratório — Exposição sob dois intervalos de atualização

# Expected misuse of stolen cards before deny-list update; synthetic hourly theft-use rate.
rate = [0.2]*6 + [1.5, 3.0, 2.5, 1.0, 0.8, 0.9, 1.2, 0.9, 0.8, 1.0, 2.0, 3.2, 2.6, 1.1, 0.6, 0.4] + [0.2]*2
assert len(rate) == 24
def misuse(update_h):          # each use happens on average update_h/2 hours before the list catches up
    return sum(r * update_h / 2 for r in rate) * 1.0
print(f"daily theft-use events: {sum(rate):.1f}")
for h in (1.0, 0.25):
    print(f"update every {h*60:.0f} min -> expected misuse {misuse(h):.1f} uses/day")
import math
p, n = 0.001, 800
print(f"P(at least one error) exact {1 - (1 - p)**n:.2f}, n*p approx {n*p:.2f}")

Execute com python3 lab_exposure.py. Saída verificada:

daily theft-use events: 25.1
update every 60 min -> expected misuse 12.6 uses/day
update every 15 min -> expected misuse 3.1 uses/day
P(at least one error) exact 0.55, n*p approx 0.80

6.3 Séries e pequenos riscos repetidos

Pequenos riscos repetidos muitas vezes se somam. Se cada um de muitos validadores de passagens independentes tem uma pequena probabilidade p de erro de configuração num mês, a probabilidade de que pelo menos um tenha erro é 1 menos (1 menos p) elevado a n. Para p pequeno, uma aproximação por série dá aproximadamente n vezes p, fácil de calcular de cabeça. Sofia usa isso para mostrar que uma taxa de erro de um em mil em oitocentos validadores significa uma alta chance de pelo menos um erro por mês, um argumento a favor da verificação automatizada de configuração, em vez de torcer para que cada dispositivo esteja certo.

Exemplo resolvido

Sofia integra uma curva sintética de taxa de fraude, compara o uso indevido esperado com atualizações a cada hora e a cada quinze minutos e usa uma aproximação por série para defender verificações automatizadas dos validadores.

Caso sintético. As taxas, as contagens de validadores e os custos são sintéticos.

Erros e limites

Integrais de taxas estimadas herdam os erros das estimativas. A aproximação n vezes p deixa de valer quando n vezes p não é pequeno.

Exercícios

• EX016 — Significado da área. O que representa a área sob a curva de tentativas de fraude?

  Mostrar critérios de avaliação

  Rubrica: 3 = o número total de tentativas ao longo do dia;; 2 = total;; 1 = pico;; 0 = nenhuma.

• EX017 — Comparação das atualizações. Segundo o laboratório, como muda o uso indevido esperado ao passar de atualizações a cada hora para a cada quinze minutos?

  Mostrar critérios de avaliação

  Rubrica: 3 = cai para cerca de um quarto, de 12,6 para 3,1 usos;; 2 = cai;; 1 = sobe;; 0 = nenhuma.

• EX018 — Pelo menos um erro. Com p = 0,001 e n = 800, qual é a chance aproximada de pelo menos um erro?

  Mostrar critérios de avaliação

  Rubrica: 3 = cerca de 0,55 (exata) ou 0,8 por n p, que aqui superestima;; 2 = aproximação;; 1 = 0,001;; 0 = nenhuma.

Síntese

A integração e as séries transformam taxas e pequenos riscos repetidos em totais que justificam as escolhas de arquitetura.