Capítulo 6 — Cálculo II | Engenharia Perícia digital e análise de malware

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Capítulo 6 — Cálculo II

Mapa da aula

Aula 06 publicada. Mapa, exemplo, EX016.

flowchart TD
  N0["6.1 Crescimento exponencial"]
  N1["6.2 O acúmulo como equação diferencial"]
  N2["6.3 Decaimento"]
  N3["6.4 Séries"]
  N4["6.5 Ajuste e verificação"]
  N5["6.6 Comunicando modelos"]
  N6["Análise de sensibilidade"]
  N7["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5 --> N6 --> N7
  N7 --> EX["Exemplo resolvido"]
  EX --> Q["Exercício EX016"]

Desenho lógico

flowchart LR
  N0["6.1 Crescimento exponencial"]
  N1["6.2 O acúmulo como equação diferencial"]
  N2["6.3 Decaimento"]
  N3["6.4 Séries"]
  N4["6.5 Ajuste e verificação"]
  N5["6.6 Comunicando modelos"]
  N6["Análise de sensibilidade"]
  N7["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5 --> N6 --> N7 --> Q["EX016"]

[6.1 Crescimento exponencial]
    |
    v
[6.2 O acúmulo como equação diferencial]
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[6.3 Decaimento]
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[6.4 Séries]
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    v
[6.5 Ajuste e verificação]
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[6.6 Comunicando modelos]
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[Análise de sensibilidade]
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[Síntese]
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    v
[Exemplo resolvido] --> [Exercício EX016]

Objetivos de aprendizagem

Você vai (1) usar modelos exponenciais de crescimento e decaimento; (2) modelar o crescimento do acúmulo de casos; (3) usar séries para estimar totais; (4) julgar quando os modelos enganam.

6.1 Crescimento exponencial

Garfinkel (2010) descreveu o rápido crescimento dos volumes de armazenamento como um problema central da perícia digital. Se o armazenamento médio apreendido dobra a cada poucos anos, ele segue S(t) = S0 · 2^(t/T). Priya ajusta T a partir dos registros sintéticos de Northfield. Aplicar logaritmos transforma a curva numa reta: log2 S = log2 S0 + t/T, de modo que T é o inverso da inclinação quando o logaritmo do armazenamento é traçado contra os anos. Os registros sintéticos de Priya dão uma inclinação de cerca de um terço por ano, o que significa um tempo de duplicação de três anos. Esse número é uma premissa de planejamento para compras de armazenamento, não uma lei da natureza, e ela o rotula assim.

6.2 O acúmulo como equação diferencial

Se os casos chegam à taxa a e são concluídos à taxa c, o acúmulo B varia como dB/dt = a − c. Quando a excede c, o acúmulo cresce sem limite; só mais capacidade ou menos trabalho por caso o detém. Suponha que Northfield receba 45 casos por mês e conclua 40. O acúmulo cresce cinco por mês, por mais que alguém trabalhe num dado dia. As horas extras elevam c temporariamente, mas, quando acabam, o crescimento recomeça. Priya mostra aos gestores a reta simples B(t) = B0 + (a − c)t ao lado dos números reais do acúmulo, e o bom ajuste defende a mudança estrutural melhor do que qualquer caso isolado.

6.3 Decaimento

Alguns artefatos são sobrescritos com o tempo. Se um log faz rotação e mantém um número fixo de entradas, a chance de um evento antigo sobreviver cai à medida que chegam novos eventos — na prática, aproximadamente um decaimento exponencial. Para um log que mantém as últimas N entradas e recebe eventos à taxa r, uma entrada escrita no instante zero é sobrescrita após cerca de N/r unidades de tempo, de modo que ali a sobrevivência é um penhasco, não uma rampa. O decaimento exponencial descreve melhor os casos em que a sobrescrita é aleatória, como os clusters não alocados reutilizados por um sistema de arquivos movimentado. Priya mantém os dois casos separados porque levam a recomendações diferentes sobre a rapidez da coleta.

6.4 Séries

Somar uma série geométrica estima o armazenamento total ao longo de vários anos de apreensões: S0(1 + r + r² + …). Para um fator de crescimento r por ano, a soma ao longo de n anos é S0(rⁿ − 1)/(r − 1). Com S0 = 200 TB no primeiro ano e r = 1,3, cinco anos de entrada somam cerca de 1.800 TB, não 1.000. A fórmula é útil sobretudo como verificação de realidade de propostas de orçamento que pressupõem entrada constante. Priya acrescenta a política de retenção ao cálculo, porque o armazenamento deixa de se acumular quando os casos antigos são liberados.

6.5 Ajuste e verificação

Ajuste os modelos com dados passados e depois verifique-os num ano posterior que não foi usado no ajuste. Reservar o ano mais recente é o teste honesto, porque esse é o tipo de previsão de que o laboratório de fato precisa. Se o tempo de duplicação ajustado previu 640 TB para o ano reservado e o número real foi 590 TB, o erro é de cerca de oito por cento, e essa faixa de erro entra na previsão. Um modelo verificado apenas com os dados usados para ajustá-lo sempre parecerá melhor do que é.

6.6 Comunicando modelos

Hugo quer uma frase para a gestão: o que o modelo prevê, sob quais premissas e quanto pode errar. A frase de Priya diz: 'Se o armazenamento apreendido continuar crescendo no ritmo observado nos últimos seis anos, precisaremos de cerca de 1,8 PB de capacidade em cinco anos; na verificação do ano passado, o modelo errou por cerca de oito por cento.' Ela nomeia a premissa, a previsão e o erro, e deixa a decisão de compra a quem é dono do orçamento.

Análise de sensibilidade

Priya varia cada entrada do modelo, uma de cada vez — tempo de duplicação, taxa de chegada, taxa de conclusão —, para ver qual premissa mais altera a previsão. A taxa de conclusão domina, por isso ela recomenda ao laboratório que medi-la com cuidado importa mais do que refinar a tendência do armazenamento. A tabela de variações vai para o seu apêndice.

Exemplo resolvido

Dados sintéticos de Northfield: média de 0,5 TB por caso no ano 0 e de 1 TB no ano 3. Tempo de duplicação T = 3 anos. Se o laboratório conclui 40 casos por mês e recebe 45, o acúmulo cresce 5 casos por mês, mesmo antes de discos maiores atrasarem ainda mais o trabalho. A frase de Priya: "Se as tendências continuarem, o acúmulo cresce cerca de 60 casos por ano; isso pressupõe entrada e equipe estáveis."

Caso sintético. Os números são inventados.

Erros e limites

Tendências exponenciais não podem continuar para sempre; use-as para horizontes curtos e revise-as todo ano.

Exercícios

EX016 — Sinal do acúmulo. Com 45 chegadas e 40 conclusões por mês, o que acontece com o acúmulo? Rubrica: 3 = cresce 5/mês, 60/ano; 2 = cresce; 1 = diminui; 0 = nada.
EX017 — Tempo de duplicação. De 0,5 TB para 1 TB em três anos, quanto vale T? Rubrica: 3 = 3 anos, com a razão; 2 = o número; 1 = errado; 0 = nada.
EX018 — Frase do modelo. Quais três partes a frase para a gestão deve conter? Rubrica: 3 = previsão, premissas, incerteza; 2 = duas; 1 = uma; 0 = nada.

Síntese

Modelos de crescimento e decaimento ajudam a planejar a capacidade pericial quando suas premissas são declaradas e verificadas.

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