Capítulo 6 — Cálculo II | Engenharia Segurança quântica e pós-quântica

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Mapa da aula

Aula 06 publicada. Mapa, exemplo, EX011.

flowchart TD
  N0["6.1 Modelos exponenciais"]
  N1["6.2 Somas e integrais para a exposição"]
  N2["6.3 Otimização"]
  N3["6.5 Atividade prática"]
  N4["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4
  N4 --> EX["Exemplo resolvido"]
  EX --> Q["Exercício EX011"]

Desenho lógico

flowchart LR
  N0["6.1 Modelos exponenciais"]
  N1["6.2 Somas e integrais para a exposição"]
  N2["6.3 Otimização"]
  N3["6.5 Atividade prática"]
  N4["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> Q["EX011"]

[6.1 Modelos exponenciais]
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    v
[6.2 Somas e integrais para a exposição]
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[6.3 Otimização]
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[6.5 Atividade prática]
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    v
[Síntese]
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    v
[Exemplo resolvido] --> [Exercício EX011]

Objetivos de aprendizagem

Você vai (1) usar modelos exponenciais e logarítmicos de crescimento e decaimento; (2) calcular somas e integrais que aparecem em modelos de custo e de risco; (3) aplicar otimização para escolher parâmetros sob restrições; e (4) modelar a janela de exposição do "colete agora, decifre depois". O capítulo parte do Capítulo 1 e apoia o desempenho (Capítulo 36) e a otimização (Capítulo 41).

6.1 Modelos exponenciais

Muitas grandezas deste campo são modeladas exponencialmente: o volume de tráfego gravado, a queda do custo por qubit, a perda de utilidade de um certificado. Um modelo f(t) = f₀·e^(rt) tem tempo de duplicação ln 2 / r. Os engenheiros devem tratar esses modelos como cenários: um tempo de duplicação assumido para a qualidade dos qubits é um pressuposto, não uma lei.

O tempo de duplicação é a forma mais intuitiva de enunciar um modelo exponencial: se o tráfego gravado dobra a cada 3,8 anos, o leitor consegue imaginar o crescimento sem logaritmos. Mostrar os resultados num cenário rápido e num lento mantém o modelo honesto. Se a recomendação mudar entre os cenários, o memorando precisa dizer qual pressuposto provoca a mudança.

6.2 Somas e integrais para a exposição

Suponha que a BPA grave tráfego a uma taxa de v(t) GB por ano e que todo tráfego gravado antes da data de migração T fique exposto se um CRQC aparecer no instante Z. O volume exposto é a integral de v de 0 a T. Se v cresce exponencialmente, ∫₀^T v₀e^(rt) dt = (v₀/r)(e^(rT) − 1): adiar a migração faz a exposição crescer mais que linearmente. A lição de engenharia é que um atraso de um ano no fim do programa custa mais exposição do que um atraso de um ano no começo.

6.3 Otimização

A escolha de parâmetros é otimização com restrições. Exemplo: escolher um conjunto de parâmetros do ML-KEM que maximize a segurança dentro de um orçamento de bytes do handshake. O ML-KEM-512, o -768 e o -1024 oferecem as categorias 1, 3 e 5 do NIST, com chaves de encapsulamento de 800, 1.184 e 1.568 bytes (FIPS 203). Se o orçamento para o compartilhamento de chave do cliente for de 1.300 bytes, o ML-KEM-768 é o maior que cabe. Os multiplicadores de Lagrange formalizam esses compromissos para variáveis contínuas; em conjuntos discretos de parâmetros, basta enumerar.

O orçamento de bytes vem de limites reais: algumas redes fragmentam ou descartam mensagens de handshake acima de certos tamanhos, e middleboxes podem rejeitar registros incomuns. Escolher o ML-KEM-768 dentro de um orçamento de 1.300 bytes dá segurança de categoria 3 com folga. Se o orçamento fosse de 1.000 bytes, só o ML-KEM-512 caberia, e o memorando teria de discutir se a categoria 1 é aceitável.

6.4 Exemplo resolvido

A troca de dados aduaneiros da BPA envia hoje 2 TB/ano, com crescimento de 20% ao ano (r ≈ 0,182). Volume exposto se a migração terminar após 3 anos: (2/0,182)(e^0,547 − 1) ≈ 8,0 TB; após 5 anos: ≈ 16,3 TB. Dois anos a mais praticamente dobram o arquivo exposto.

Com r igual a 0,182, os termos exponenciais valem cerca de 1,73 após três anos e 2,49 após cinco. Multiplicar o excesso sobre um por cerca de onze, o fator dois dividido por r, dá os dois números. A duplicação mostra por que o plano do programa antecipa a troca de dados aduaneiros: ela tem o volume que cresce mais depressa e o requisito de confidencialidade mais longo.

6.5 Atividade prática

Calcule o volume exposto para migrações concluídas após 1–8 anos e faça um gráfico (ou uma tabela). Identifique o ano em que a exposição passa de 10 TB.

Use a fórmula do exemplo resolvido em vez de somar volumes anuais: somar 2, 2,4, 2,88 e assim por diante trata o tráfego de cada ano como se chegasse no primeiro dia e dá totais um pouco menores, cerca de 7,3 TB após três anos em vez de 8,0. Os dois métodos concordam sobre o primeiro ano que passa de 10 TB, mas só a integral coincide com os números do exemplo resolvido e dos exercícios. Tabular cada ano mostra as diferenças entre anos consecutivos crescendo, que é o efeito não linear que torna caros os atrasos tardios. Os estudantes devem declarar o pressuposto de crescimento ao lado da tabela e refazê-la com 10% e 30%.

6.6 Erros comuns e limites

Tratar pressupostos de crescimento como previsões.
Pensar linearmente sobre o atraso sob crescimento exponencial.
Ignorar que a exposição também depende de quanto tempo os dados permanecem sensíveis (Capítulo 20).

As taxas de crescimento são pressupostos; uma taxa de 20% pode cair se um serviço for desativado ou subir se novos parceiros entrarem. O raciocínio linear subestima o custo do atraso, porque cada ano posterior acrescenta mais volume do que o anterior. A exposição também depende do tempo de vida: um tráfego que perde valor após um ano importa menos do que registros aduaneiros que precisam permanecer confidenciais por vinte e cinco anos.

Exercícios

EX011 — Integral da exposição. Calcule o volume exposto da BPA para T = 4 anos. Rubrica: 3 = correto (≈ 11,8 TB), com o cálculo.
EX012 — Escolha com orçamento. Com um orçamento de 900 bytes para o compartilhamento do cliente, qual conjunto do ML-KEM cabe, e o que o engenheiro deve fazer se a categoria 3 for exigida? Rubrica: 3 = cabe o ML-KEM-512; propõe mudar o orçamento ou o transporte em vez de rebaixar em silêncio.

Síntese

O cálculo transforma o momento da migração em exposição: sob crescimento, o atraso custa mais que linearmente; a escolha de parâmetros é otimização com restrições sobre conjuntos de parâmetros publicados.