Capítulo 6 — Cálculo II

Capítulo 6 — Cálculo II

Mapa da aula

Aula 06 publicada. Mapa, exemplo, EX016.

flowchart TD
  N0["6.1 Acumular riscos pequenos"]
  N1["6.2 Séries e a exponencial"]
  N2["6.3 Aplicar à Ridgeway"]
  N3["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3
  N3 --> EX["Exemplo resolvido"]
  EX --> Q["Exercício EX016"]

Desenho lógico

flowchart LR
  N0["6.1 Acumular riscos pequenos"]
  N1["6.2 Séries e a exponencial"]
  N2["6.3 Aplicar à Ridgeway"]
  N3["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> Q["EX016"]

[6.1 Acumular riscos pequenos]
    |
    v
[6.2 Séries e a exponencial]
    |
    v
[6.3 Aplicar à Ridgeway]
    |
    v
[Síntese]
    |
    v
[Exemplo resolvido] --> [Exercício EX016]

Objetivos de aprendizagem

Você vai (1) usar séries e limites para raciocinar sobre risco acumulado; (2) modelar a probabilidade de falha ao longo de muitas tentativas; (3) aplicar a aproximação 1 - e^-x a eventos de segurança.

6.1 Acumular riscos pequenos

Um único evento de probabilidade minúscula torna-se provável quando repetido vezes suficientes. Se cada uma de n tentativas independentes falha com probabilidade p, a chance de nenhuma falhar é (1 - p)^n. O Cálculo II dá a Aiyana a ferramenta para simplificar isso: para p pequeno, (1 - p)^n fica próximo de e^(-np), um limite que ela deduz da série da função exponencial. Essa aproximação aparece o tempo todo em criptografia, das colisões de nonces à reutilização aleatória de chaves, porque os engenheiros repetem operações bilhões de vezes. Um risco de um em um bilhão por operação não é pequeno para uma frota que realiza dez bilhões de operações.

6.2 Séries e a exponencial

A função exponencial pode ser escrita como uma série infinita, 1 + x + x²/2 + x³/6 e assim por diante. Para x pequeno, os dois primeiros termos dominam, e é por isso que 1 - e^(-x) é aproximadamente x quando x é minúsculo. O math.expm1 do Python calcula e^x - 1 com precisão mesmo para x muito pequeno, evitando o erro de arredondamento de subtrair números quase iguais. Aiyana descobre isso do jeito difícil quando seu cálculo ingênuo de 1 - exp(-1e-18) imprime zero. Ela passa a usar -expm1(-x) e obtém a probabilidade minúscula correta, uma lição de cuidado numérico.

6.3 Aplicar à Ridgeway

Suponha que um firmware defeituoso de medidor escolha um identificador aleatório de 32 bits para cada sessão e que o servidor confunda as sessões se dois identificadores coincidirem. Com muitas sessões, a chance de colisão cresce aproximadamente como o quadrado do número de sessões dividido pelo dobro do espaço, o efeito do aniversário que o Capítulo 7 desenvolve. Aiyana usa a aproximação exponencial para mostrar ao conselho que um projeto aceitável para um piloto com cem medidores falha com cinquenta mil. O cálculo lhe diz quando o "raro" deixa de ser raro, o que orienta quantos bits os identificadores e os nonces precisam ter.

Exemplo resolvido

Aiyana deduz (1 - p)^n ≈ e^(-np), corrige um bug de arredondamento com math.expm1 e mostra que um identificador por sessão seguro para um piloto é inseguro em escala completa.

Caso sintético. O projeto do identificador é inventado; a matemática é padrão.

Erros e limites

A aproximação supõe independência e p pequeno; falhas correlacionadas, como uma semente aleatória ruim compartilhada, a quebram gravemente. A subtração em ponto flutuante de números quase iguais perde precisão.

Exercícios

• EX016 — Aproximação pelo limite. Que aproximação Aiyana usa para (1 - p)^n quando p é pequeno? Rubrica: 3 = e^(-np);; 2 = exponencial;; 1 = np exatamente;; 0 = nenhuma.

• EX017 — Correção com expm1. Por que 1 - exp(-1e-18) imprimiu zero, e o que corrigiu isso? Rubrica: 3 = arredondamento ao subtrair números quase iguais; usar -math.expm1(-x);; 2 = arredondamento;; 1 = fórmula errada;; 0 = nenhuma.

• EX018 — Falha correlacionada. Quando a hipótese de independência falha gravemente? Rubrica: 3 = falhas correlacionadas, como uma semente aleatória ruim compartilhada entre medidores;; 2 = correlação;; 1 = nunca;; 0 = nenhuma.

Síntese

As séries e os limites explicam como riscos minúsculos por operação se acumulam em escala, e uma numérica cuidadosa mantém essas estimativas honestas.

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