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Engenharia · Capítulo 1 · Português

Capítulo 1 — Cálculo I

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Capítulo 1 — Cálculo I

Mapa da aula

Aula 01 publicada. Mapa, exemplo, EX001.

flowchart TD
  N0["1.1 O nível é vazão acumulada"]
  N1["1.2 Por que um engenheiro de segurança se importa"]
  N2["1.3 Consumo variável"]
  N3["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3
  N3 --> EX["Exemplo resolvido"]
  EX --> Q["Exercício EX001"]

Desenho lógico

flowchart LR
  N0["1.1 O nível é vazão acumulada"]
  N1["1.2 Por que um engenheiro de segurança se importa"]
  N2["1.3 Consumo variável"]
  N3["Síntese"]
  N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> Q["EX001"]

[1.1 O nível é vazão acumulada]
    |
    v
[1.2 Por que um engenheiro de segurança se importa]
    |
    v
[1.3 Consumo variável]
    |
    v
[Síntese]
    |
    v
[Exemplo resolvido] --> [Exercício EX001]

Objetivos de aprendizagem

Você vai (1) modelar o nível de um tanque como a integral da vazão líquida; (2) usar esse modelo para calcular quanto tempo os operadores têm depois que uma bomba para; (3) explicar por que esse tempo é uma grandeza de segurança, e não apenas de processo.

1.1 O nível é vazão acumulada

O tanque de alimentação T-1 da Ashford Batch Plant (ABP) contém V(t) metros cúbicos. Se a bomba de reposição para em t = 0 e o reator continua puxando q(t) m³/h, então V(t) = V₀ − ∫₀ᵗ q(s) ds. O nível cai exatamente tão rápido quanto a vazão de saída, e o tempo até ele chegar ao volume mínimo seguro retido V_min é o t* que resolve ∫₀^t* q(s) ds = V₀ − V_min. Quando q é constante, isso é (V₀ − V_min)/q; quando q varia, você integra.

1.2 Por que um engenheiro de segurança se importa

Um atacante que consegue parar uma bomba ou falsificar uma leitura de nível altera essa integral. O tempo de autonomia é a janela em que os operadores ou um sistema de segurança precisam perceber e agir. Se o T-1 contém 12 m³, o mínimo é 2 m³ e o reator puxa cerca de 1,8 m³/h, os operadores têm aproximadamente 5,5 horas. Esse número vai direto para o requisito de detecção: um alarme que dispara depois de seis horas não detecta nada de útil. O cálculo transforma "detectar rápido" em "detectar dentro de 5,5 horas, com margem".

Lena escreve o número no requisito junto com a forma como ele foi calculado.

1.3 Consumo variável

O consumo da ABP oscila com a receita do lote: q(t) = 1,8 + 0,4 sen(2πt/6). A sua integral tem forma fechada, e o laboratório resolve t* por bissecção. A resposta, 5,53 h, fica perto da estimativa pela taxa média, de 5,56 h, porque a oscilação se compensa ao longo de um ciclo completo de seis horas; com uma janela mais curta ou uma receita assimétrica, as duas divergiriam, e a escolha conservadora é o tempo menor.

# Lab 1 - tank hold-up after feed pump stop (Ashford Batch Plant, synthetic)
import math
V0, VMIN = 12.0, 2.0   # m3 in feed tank T-1
def outflow(t):         # m3/h to reactor; t hours after stop of makeup
    return 1.8 + 0.4*math.sin(2*math.pi*t/6)
def drawn(t):
    return 1.8*t - (0.4*6/(2*math.pi))*(math.cos(2*math.pi*t/6)-1)
lo,hi=0.0,24.0
for _ in range(50):
    mid=(lo+hi)/2
    lo,hi=(mid,hi) if drawn(mid)<V0-VMIN else (lo,mid)
print(f"time to min level: {lo:.2f} h")
print(f"average-rate estimate: {(V0-VMIN)/1.8:.2f} h")

Saída esperada:

time to min level: 5.53 h
average-rate estimate: 5.56 h

Caso sintético — Ashford Batch Plant. Lena Okafor, engenheira do Control Network Hardening Programme (CNHP), usou o cálculo da autonomia para argumentar que um alarme de nível baixo no T-1 precisa ser independente do PLC-A, porque um CLP comprometido poderia suprimir tanto o estado da bomba quanto o alarme dentro da janela de 5,5 horas.

1.4 Erros e limites

Os modelos pressupõem que o sensor de nível é honesto; o Capítulo 29 trata da falsificação de sensores. Misturar m³/h com minutos é o deslize mais comum. Escolha sempre a raiz conservadora quando a incerteza for grande.

Uma leitura de nível falsificada é o caso que este modelo não consegue tratar: se o transmissor relata um tanque cheio enquanto o T-1 se esvazia, a integral está correta, mas ninguém está olhando para ela. É por isso que Lena combina o cálculo da autonomia com uma chave de nível independente. Confira as unidades em cada passo, escreva o tempo em horas com o consumo pressuposto ao lado e repita o cálculo sempre que a receita mudar a demanda do reator.

Exercícios

Síntese

O tempo de autonomia é ao mesmo tempo uma integral e um orçamento de segurança: ele limita o quão tarde a detecção pode chegar.

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