Capítulo 6 — Cálculo II
Mapa da aula
Aula 06 publicada. Mapa, exemplo, EX011.
flowchart TD
N0["6.1 Estoques com realimentação viram equações difere"]
N1["6.2 A solução linear de primeira ordem e a constante"]
N2["6.3 Solução numérica e erro"]
N3["6.4 Sensibilidade: qual suposição importa?"]
N4["6.6 Atividade prática"]
N5["Síntese do capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5
N5 --> EX["Exemplo resolvido"]
EX --> Q["Exercício EX011"]
Desenho lógico
flowchart LR
N0["6.1 Estoques com realimentação viram equações difere"]
N1["6.2 A solução linear de primeira ordem e a constante"]
N2["6.3 Solução numérica e erro"]
N3["6.4 Sensibilidade: qual suposição importa?"]
N4["6.6 Atividade prática"]
N5["Síntese do capítulo"]
N0 --> N1 --> N2 --> N3 --> N4 --> N5 --> Q["EX011"]
[6.1 Estoques com realimentação viram equações difere]
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[6.2 A solução linear de primeira ordem e a constante]
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[6.3 Solução numérica e erro]
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[6.4 Sensibilidade: qual suposição importa?]
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[6.6 Atividade prática]
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[Síntese do capítulo]
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[Exemplo resolvido] --> [Exercício EX011]
Objetivos de aprendizagem e conexão
Ao fim deste capítulo você será capaz de (1) escrever uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem para um estoque com vazão de entrada e de saída; (2) resolver analiticamente EDOs lineares de primeira ordem, incluindo a aproximação exponencial ao equilíbrio e sua constante de tempo; (3) resolver EDOs numericamente e controlar o erro devido ao tamanho do passo; e (4) usar séries e sensibilidade (derivadas parciais) para ver qual parâmetro mais importa para uma margem de resiliência. Ele estende o Capítulo 1 e prepara o Capítulo 17 (controle).
6.1 Estoques com realimentação viram equações diferenciais
O reservatório do Capítulo 1 tinha uma vazão de saída conhecida e nenhuma vazão de entrada. Estoques reais têm fluxos que dependem do próprio estoque. A água que sai de um tanque aberto por um orifício depende da carga hidráulica acima dele; o cloro residual decai a uma taxa proporcional à sua concentração; a tensão nos terminais de uma bateria cai com seu estado de carga. Quando a taxa depende da quantidade, obtém-se uma equação como $dx/dt = f(x, t)$. O caso importante mais simples é o linear: $dx/dt = -kx + u$, com constante $k > 0$ e entrada $u$.
6.2 A solução linear de primeira ordem e a constante de tempo
Com $u$ constante, a solução é $x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)e^{-kt}$, em que $x_\infty = u/k$ é o equilíbrio. A constante de tempo $\tau = 1/k$ é o tempo para fechar cerca de 63% da diferença; após $3\tau$, cerca de 95% está fechado, e após $5\tau$, cerca de 99%. Os engenheiros usam $\tau$ para raciocinar sobre a rapidez com que um sistema responde a uma mudança — e a rapidez com que responde a um ataque. Exemplo: o cloro livre num tanque de armazenamento decai com uma constante de primeira ordem; se $k = 0.05$ por hora, $\tau = 20$ h. Se a dosagem parar (por falha ou por comando malicioso), o residual cai pela metade em $\ln 2/k \approx 13.9$ h. Essa é a janela em que um operador precisa perceber e agir antes que o residual caia abaixo do mínimo regulatório.
6.3 Solução numérica e erro
Na prática, a maioria das EDOs é não linear ou movida por entradas medidas, então você as resolve numericamente. O método de Euler explícito, $x_{n+1} = x_n + h f(x_n, t_n)$, tem erro global proporcional ao passo $h$; reduzir $h$ à metade reduz o erro aproximadamente à metade. O método de Heun e o método clássico de Runge–Kutta de quarta ordem reduzem o erro muito mais depressa para o mesmo $h$. Faça sempre uma verificação de convergência do passo: se reduzir $h$ à metade muda a resposta que lhe interessa em mais do que sua tolerância, o passo é grande demais. Em sistemas rígidos (stiff) — com alguns componentes muito mais rápidos do que outros —, os métodos explícitos podem se tornar instáveis, a menos que $h$ seja muito pequeno; Euler aplicado a $dx/dt = -kx$ é instável para $h > 2/k$.
6.4 Sensibilidade: qual suposição importa?
Uma margem de projeto depende de vários parâmetros: nível inicial, demanda, taxa de vazamento, capacidade das bombas. A derivada parcial da margem em relação a cada parâmetro, multiplicada pela faixa plausível desse parâmetro, mostra qual incerteza domina. Para a autonomia $T = V/q$ com demanda constante, $\partial T/\partial V = 1/q$ e $\partial T/\partial q = -V/q^2$; um erro de 10% na demanda move $T$ aproximadamente tanto quanto um erro de 10% no volume utilizável, mas no sentido oposto. As séries de Taylor dão a mesma percepção para modelos não lineares: perto de um ponto nominal, $f(x + \Delta) \approx f(x) + f'(x)\Delta$.
6.5 Exemplo resolvido: perda da dosagem de cloro (sintético)
O residual na saída de Hollin Hill, na LRWA, é mantido em 0,8 mg/L; o mínimo operacional sintético é de 0,2 mg/L. Com a dosagem parada e decaimento de primeira ordem $k = 0.05$ h⁻¹, o residual atinge 0,2 mg/L quando $0.8e^{-0.05t} = 0.2$, isto é, $t = \ln 4 / 0.05 \approx 27.7$ h. Se o tempo quente elevar $k$ para 0,08 h⁻¹, a janela encolhe para 17,3 h. A equipe de projeto escreve o requisito R9: a perda da dosagem deverá gerar alarme em até 15 minutos, independentemente dos próprios relatórios de estado do controlador de dosagem — porque um controlador comprometido poderia informar operação normal. A EDO se transformou num requisito de tempo de detecção com margem.
6.6 Atividade prática
Modifique o Laboratório 1 para incluir uma vazão de entrada constante de 120 m³/h vinda de uma única bomba sobrevivente e um vazamento de primeira ordem de $0.01V$ m³/h. Integre pelo método de Euler com três tamanhos de passo e encontre analiticamente o nível de equilíbrio fazendo $dV/dt = 0$, com a demanda substituída por sua média. Informe o nível de equilíbrio e compare-o com a capacidade e com o piso do reservatório. Com uma bomba a 120 metros cúbicos por hora contra uma demanda média de 150, o estoque precisa continuar caindo, a menos que o vazamento compense a diferença, então verifique se sua resposta analítica é fisicamente possível antes de confiar nela. Depois confirme que as execuções de Euler convergem à medida que o passo diminui. O objetivo do exercício é a combinação: uma verificação analítica, um resultado numérico e um teste de convergência que concordam entre si.
6.7 Erros comuns e limites
- Usar decaimento exponencial quando o processo não é de primeira ordem.
- Informar uma solução numérica sem verificação do passo.
- Ignorar que os parâmetros (taxas de decaimento, demanda) variam com a temperatura e a estação do ano.
- Analisar a sensibilidade um parâmetro de cada vez quando os parâmetros interagem; para interações fortes, use métodos globais (Saltelli et al., 2008).
No exemplo do cloro, uma equipe que usasse o ano inteiro a constante de decaimento de tempo frio acreditaria ter 27,7 horas quando o verão deixa cerca de 17. O alarme de 15 minutos de R9 foi escolhido com essa faixa sazonal em mente, e é por isso que o requisito não depende da constante exata.
Exercícios — capítulo 6
EX011 — Da constante de tempo ao requisito. Objetivo: transformar dinâmica num requisito de tempo de detecção. Entradas: §6.5. Passos: (1) calcule a janela com $k = 0.12$ h⁻¹; (2) se os operadores precisam de 4 h para restabelecer a dosagem manualmente, calcule o último instante aceitável para o alarme; (3) escreva o requisito. Evidência esperada: números e requisito. Rubrica: 3 = janela e margem corretas e um requisito verificável independente do controlador; 2 = um deslize; 1 = apenas números; 0 = nada.
EX012 — Estabilidade de Euler. Objetivo: ver a instabilidade numérica. Entradas: $dx/dt = -kx$, $k = 0.5$, $x_0 = 1$. Passos: calcule cinco passos de Euler com $h = 1$, $h = 3$ e $h = 5$ e compare com a solução exata. Evidência esperada: tabela e explicação. Rubrica: 3 = valores corretos e a instabilidade para $h > 2/k$ explicada; 2 = valores certos, explicação fraca; 1 = apenas um tamanho de passo; 0 = nada.
Síntese do capítulo
Quando um fluxo depende do estoque, escreva uma EDO. Sistemas lineares de primeira ordem se aproximam do equilíbrio exponencialmente, com constante de tempo $\tau$; esse número se torna um requisito de detecção e resposta. Resolva numericamente com verificações de convergência e atenção à estabilidade. Use a sensibilidade para descobrir qual suposição domina uma margem e projete uma detecção que não dependa do componente sob suspeita.
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